Lineære funksjoner

For en generell innføring i funksjoner, henviser vi til lærebøker i matematikk. Den videre gjennomgangen vil dreie seg spesifikt om lineære funksjoner. Fokus vil være på anvendelse av dette emnet i spill med getSmart lilla. At en funksjon er lineær betyr at grafen (som vi tegner i koordinatsystemet) er en rett linje. Alle lineære funksjoner er av typen

Tidligere lærebøker bruker

(Begge skrivemåter kan brukes, men i følge Kunnskapsløftet er det bedre å bruke bruke f(x) i stedet for y. F(x) betyr funksjon av x. Grafen f er altså en funksjon som avhenger av variabelen x (x er det som varierer). De som synes det blir for vanskelig å bruke f(x) i stedet for y, kan godt fortsette å bruke y. Om man bruker
f(x) eller y, spiller altså egentlig ikke så stor rolle fordi

Videre i teksten, vil vi variere mellom å bruke f(x) og y. Som nevt innledningsvis, er alle lineære funksjoner av typen f(x) = ax + b (y = ax + b). Et slikt oppsett kaller vi funksjonsuttrykk. Et eksempel på en lineær funksjon er

Sammenligner vi med det generelle funksjonsuttrykkett over, ser vi at a = 2 og b = 3. Dersom man skal tegne grafen til denne funksjonen, er det vanlig å bruke verditabell. I spill med getSmart lilla skal vi bruke en enklere metode for å kunne tegne og lese av funksjonsuttrykket til grafer (rette linjer). Før vi viser hvordan man gjør dette, skal vi ta for oss en enkel verditabell.

Lærebøker har forskjellige oppsett for hvordan en verditabell skal se ut. Vi velger her å gå igjennom den enkleste i og med at den gir oss den informasjonen vi trenger. En verditabell må inneholde x-verdier (disse finner vi på selv) og y-verdier (disse regner vi ut ved å sette inn for x i funksjonsuttrykket). X-verdiene og de tilhørende y-verdiene bestemmer ulike punkter på grafen. Ved å trekke enn rett linje gjennom punktene, finner man grafen til funksjonen. Når vi arbeider med lineære funksjoner er det er vanlig å lage en verditabell som inneholder tre x-verdier og dermed også tre y-verdier. La oss tenke oss at vi ønsker å tegne grafen til

Vi velger tre x-verdier, for eksempel x = -2, x = 0 og x = 1. Velg alltid x = 0 som en av x-verdiene, fordi y da blir enkel å regne ut. På denne må finner man også skjæringspunktet med y-aksen.

Sett x-verdiene i en tabell som vist under.

Deretter setter vi inn hver av x-verdiene inn i funksjonsuttrykket:

Den første y-verdien finner vi ved å sette inn tallet -2 for x. Når vi regner ut skriver vi dette på følgende måte:

Vi setter denne verdien inn i tabellen og vet nå at et punkt på grafen er (-2,-1). Ved å gjøre denne prosessen om igjen med verdiene x = 0 og x = 1 får vi fylt ut resten av tabellen (prøv selv).

For å tegne grafen, merker vi av de tre punktene og trekker en rett linje mellom dem.

Vi er nå kommet til noe av det som er poenget med å spille med getSmart lilla. Videre skal vi fortsette å se på funksjoner av typen f(x) = ax + b, eller y = ax + b som mange er vant til å kalle de. Fokus nå, vil være å lære seg hvordan man kan tegne grafen direkte uten bruk av verditabell. I tillegg vil det også være fokus på hvordan man kan finne funksjonsuttrykket til grafen ved rett og slett å tolke den. I det generelle funksjonsuttrykket over, kaller vi a for stigningstall og b for konstantledd.

Tallet som står foran x, sier oss hvor mye grafen stiger eller synker når x øker med enhet(derfor navnet stigningstall). Dersom a er positiv, stiger grafen og dersom a er negativ, synker grafen. Tallet a er altså positivt dersom grafen stiger når vi går mot høyre og negativ dersom grafen synker. Tallet b forteller oss hvor grafen krysser y-aksen. I dette punktet er x-verdien null. Ved å sette inn verdien null i stedet for x, ser vi at vi får

hvilket innebærer at y = b. Med litt trening kan man altså tegne grafer av typen f(x) = ax + b direkte uten bruk av verditabell. La oss se på funksjonen

Vi nå ønsker å tegne direkte i koordinatsystemet, uten bruk av verditabell. Det første vi gjør, er å finne konstantleddet ( b-leddet). Vi ser at b = 1 (husk at tallet b sier hvor grafen skjærer y-aksen). Vi merker av dette punktet som har koordinatene (0,1). Tallet a i dette funksjonsuttrykket, ser vi er -2 (stigningstallet er -2). Som nevnt sier tallet a hvor mye grafen stiger eller synker, når x øker med en enhet. Vi tenker oss at vi står i skjæringspunktet med y-aksen. Deretter flytter vi oss (vannrett) en enhet til høyre for dette punktet. Men, fordi a = -2 skal vi nå flytte oss to enheter nedover. Her vi nå befinner oss, kan vi merke av et punkt fordi vi vet at grafen vil gå igjennom dette punktet (punktet har koordinatene (1,-1)). For at vi skal få tre punkter kan vi gjenta prosessen vi nettopp gjorde. Vi står i punktet vi nettopp merket av, går en enhet ut til høyre, deretter 2 enheter ned og merker av dette punktet. Til sist bruker vi linjal og trekker en rett linje gjennom punktene. Grafen som fremkommer er f(x) = -2x +1. Vi skal nå se at man også kan gå motsatt vei av det vi nettopp viste. Det vil si at man betrakter en graf (rett linje) i koordinatsystemenet og ønsker å finne funksjonsuttrykket til denne grafen. Vi skal nå bestemme funksjonsuttrykket til grafen under.

Som tidligere, starter vi i skjæringspunktet med y-aksen og leser av tallet b. Vi ser at b = -3. Det neste vi gjør, er å bevege oss en enhet til høyre (vannrett). Vi befinner oss nå i punktet (1,-3) og for å finne a, må vi gå opp eller ned til vi "treffer" grafen. I og med at grafen ligger over oss, må vi opp for å treffe grafen. Altså er a positiv. Da er det bare å telle hvor mange enhter vi må opp, så har vi tallet a. Vi ser at det er to enheter opp til grafen, og tallet a er derfor 2 (stigningstallet er 2). Grafen har altså funksjonsuttrykket: f(x) = 2x -3 (Etter å ha spilt en del med getSmart lilla, kommer slike oppgaver "til å gå som en lek")! På noen av kortene er det grafer som ligger vannrett. Dette betyr at stigningstallet a, er null. Vi husker at det generelle funksjonsuttrykket til en rett linje er f(x) = ax + b (y = ax + b). Dersom a = 0, får vi

Altså er f(x) = b. For eksempel vil dette bety at en vannrett graf som skjærer y-aksen i punktet (0,-2) vil ha funksjonsuttrykket: f(x) = -2, alternativt y = -2.

---

ForrigeInnholdsfortegnelseNeste