23:53
Svenska English

Regning med potenser

Ved å spille kort med getSmart grå får man trening i potensregning, og dette innbefatter både regning med negative eksponenter så vel som brøkeksponenter/n-te røtter. Vi starter med å se på de enkleste potensreglene:

$a^n * a^m$ og $a^n/a^m$

Dette er altså regler for multiplikasjon og divisjon av potenser med samme grunntall. Før vi går videre, skal vi se på et eksempel på en potens.

$2<sup>3</sup>$

Tallet 2 kalles grunntall, mens tallet 3 er eksponenten. Hele uttrykket har navnet; potens.

Multiplikasjon av potenser med samme grunntall

Vi starter nå med regelen for

$a^n * a^m$

Her har begge faktorene samme grunntall, men ulik eksponent. Følgende regel gjelder:

$a^n * a^m = a^(n + m)$

Ved multiplikasjon av potenser med samme grunntall, får svaret samme grunntall mens eksponenten blir lik summen av potensenes eksponenter.

Et eksempel på en oppgave av denne typen er: Regn ut

$2^3 * 2^5$

Her ser vi at grunntallet er 2 i begge potensene, og utregningen blir derfor som følger:

$2^3 * 2^5 = 2^(2 +35) = 2^5 = 32$

Divisjon av potenser med samme grunntall

For divisjon av potenser med samme grunntall, gjelder følgende regel:

$a^n/a^m = a^(n - m)$

Her har begge faktorene samme grunntall, men ulik eksponent.
Ved divisjon av to potenser med samme grunntall, får svaret samme grunntall, mens eksponenten blir lik differensen mellom potensenes eksponenter (den første eksponenten minus den andre). Eksempel: Regn ut:

$10^3/10^1)$ .

Her ser nok mange svaret, men dersom vi bruker regelen over, får vi:

$10^3/10^1 = 10^(3 -1) = 10^2 = 100$

Til sist tar vi for oss oppgaven:

$x^4y3/x3y$

Ved å bruke regelen over blir utregningen:

$x^4y3/x3y = x^(4-3)y^(3-1) = xy^2$

Man trenger ikke vise mellomregningen.

Negative eksponenter

Regelen under gjelder for regning med negative eksponenter.

$a^-n = 1/a^n$

Altså er en potens med negativ eksponent det samme som tallet 1 dividert på "den samme potensen", bortsett fra at eksponenten nå har motsatt fortegn.
For eksempel ser vi at:

$10^-2 = 1/10^2 = 1/100 = 0,01$

Regelen gjelder også den andre veien, dvs. at

$1/3^-3 = 3^3 = 27$

Dersom man får et svar der man har en potens med negativ eksponent i nevner, kan man rett og slett flytte potensen opp i teller ved å bytte fortegn på eksponenten. Dette vil vise seg å være svært praktisk når vi spiller med getSmart grå, og fører til at man kan ta oppgavene i hodet.

PS. Man kan fritt flytte potenser mellom teller og nevner dersom man husker å endre fortegnet til eksponentene.

Tallet 0 som eksponent

Vi kommer her med følgende definisjon:

$a^0 = 1$

Med dette menes at alle tall opphøyd i null, har svaret 1. Man kan spørre seg om hvorfor det er slik. Vi skal se at det er nødt for å være slik, for at reglene vi har vært igjennom skal gjelde. Vi tenker oss oppgaven: