00:37
Norsk English

Linjära funktioner

För att få en generell introduktion i funktioner hänvisar vi till läroböcker i matematik. Genomgången nedan kommer spesiellt att handla om linjära funktioner och hur det används i spelet getSmart lila. Att en funktion är linjär betyder att grafen, som vi kan rita i koordinatsystemet, är en rät linje. Alla linjära funktioner ser ut som

f(x)=  ax + b

Äldre läroböcker använder ofta

y =  ax + b

F(x) betyder funktionen av x. Grafen f är alltså en funktion som är avhängig på vad variablen x visar. De som tycker det är för svårt att använda f(x) i stället för y, kan fortsätta att använda y istället för f(x). Om man använder f(x) eller y spelar ingen roll på grund av att:

y = f(x)

I texten kommer vi att variera mellan att använda oss av f(x) och y. Som vi har nämnt inledningsvis är alla linjära funktioner uppbyggda som f(x) = ax + b (y = ax + b). Denna uppställningen kallar vi ett funktionsuttryck. Ett exempel på en linjär funktion är:

f(x) = 2x + 3

Jämför vi det generella funktionsuttrycket ovan, ser vi att a = 2 och b = 3. Om man ska rita grafen till denna funktion är det vanligt att använda sig av en värdetabell. När vi spelar getSmart lila ska vi använda oss av en enklare metod för att räkna och läsa av funktionsuttrycket till de räta linjernas grafer. Innan vi visar hur man gör det, ska vi se på en enkel värdetabell.

Läroböckerna har olika uppsättningar hur en värdetabell ska se ut. Vi väljer att gå igenom den enklaste, detta på grund av att den ger oss den informationen vi behöver. En värdetabell måste innehålla x-värden (dessa hittar vi på själva) och y-värden (dessar räknar vi ut genom att sätta in för x i funktionsuttrycket). X-värderna och de tillhörande y-värderna bestämmmer olika punkter på grafen. Genom att dra en rät linje genom punkterna, hittar man grafens funktion. När vi arbetar med med linjära funktioner är det vanligt att använda en värdetabell som innehåller tre x-värden och därmed även tre y-värden. Nu vill vi rita grafen till funktionen:

f(x) = 2x + 3

Vi väljer tre x-värden, till exempel x = -2, x = 0 och x = 1. Välj alltid x = 0 som ett av x-värderna, detta gör det enklare att räkna ut y och genom att ha med 0 hittar man även skärningspunkten med y-axeln.

För in x-värderna i en tabell som visas nedan.

Figur av tabellen

Därefter sätter vi in varje x-värde i funktionsuttrycket:

f(x) = 2x + 3

Den första y-värdet får vi fram genom att sätta in talet -2 istället för x. När vi räknar ut detta skriver vi in det på detta sättet:

f(-2) = 2 * (-2) + 3 ) = -4 + 3 = 1

Vi sätter även in värdet i tabellen och vet nu att en punkt i grafen är (-2, -1). Genom att göra om processen på samma sätt med värdena x = 0 och x = 1 har vi fyllt ut tabellen (prova själv).

Figur av tabellen

För att rita av grafen markerar vi de tre punkterna i koordinatssystemet och drar en rak linje mellan dem.

Vi har nu kommit till själva poängen med att spela getSmart lila. Vi ska nu se på funktioner som har formen f(x) = ax + b, eller y = ax + b som många är vana vid att kalla dem. Det vi kommer lägga fokus på nu, är att lära sig hur man kan rita grafen direkt utan att ta hjälp av en värdetabell. Utöver detta kommer det även vara fokus på hur man kan få ut funktionsuttrycket av grafen genom att helt enkelt se på den. I det generella funktionsuttrycket som vi nyss beskrev, kallar vi a för riktningskoefficienten och b är linjens avskärning av y-axeln.

Talet som står framför x berättar hur mycket grafen stiger eller sjunker när x ökar med en enhet. Om a är ett positivt tal, stiger grafen, det är en "uppförsbacke" och om a är negativ sjunker grafen, alltså blir det en "nedförsbacke". Talet a är alltså positivt om grafen stiger när vi förflyttar oss mot höger och negativ om den sjunker när vi flyttar oss mot höger. Värdet för b säger som sagt var grafen krossar y-axeln, i denna punkten är x-värdet noll. Genom att sätta i värdet noll i stället för x ser vi att det blir:

y = 0 * x + b

Som i sin tur innebär att y = b. Med lite träning kan man med andra ord rita grafer för ekvationer som har uppsättningen f(x)= ax + b. Låt oss se på funktionen

f(x) = -2x + 1

Nu vill vi föra in grafen direkt in i koordinatsystemet utan att först använda oss av en värdetabell. Det första vi gör är att se vilket värde b har. Vi ser att b = 1 (kom i håg att värdet av b visar var graven skär y-axeln). Vi markerar den punkten som har koordinaterna (0,1). Vi ser att i detta funktionsuttrycket är talet a = -2 (det vill säga att riktningskoefficienten är lika med -2). Som vi har nämnt innan, vet vi med hjälp av a hur mycket grafen stiger eller sjunker, när x ökar med en enhet. Vi tänker att vi står i skärningspunkten av y-axeln. Därefter flyttar vi oss (vågrätt) en enhet till höger om punkten. Eftersom nu a = -2 ska vi därför flytta oss två enheter nedåt. När vi kommer fram till den punkten kan vi markera den punkten. Vi vet nämligen att grafen kommer gå igenom den punkten (koordinaterna för den punkten är (1,-1)). För att vi ska få tre punkter, kan vi göra om samma process som vi precis gjorde. Vi står i punkten vi nyss markerade (1,-1). När du är i den punkten, går du en enhet till höger, därefter två neråt och märker på nytt denna punkten. Till sist använder vi en linjal och drar en rät linje gjenom punkterna. Grafen som kommer fram är f(x)=-2x+1. Vi ska nu se att man kan även göra det vi nyss visade omvändt. Alltså, man ser på en graf (rät linje) i koordinatsystemet och ut ifrån det ser vilket funktionsuttryck den linjen har. Nu ska vi bestämma funktionsuttrycket till grafen nedan:

Graf

Precis som innan startar vi i skärningspunkten med y-axeln och läser av vad b har för värde. Vi ser att b = -3. Det nästa vi gör är att vi går ett steg, en enhet, till höger (vågrätt). Vi befinner oss nu i punkten (1,-3) och för att ta reda på vilket värde a har måste vi gå tills vi "träffar" grafen. I och med att grafen ligger över oss måste vi med andra ord gå lodrätt för att korsa grafen. Vi vet därför att a är positiv. Nu är det bara att räkna hur många enheter, steg, vi måste gå upp så har vi värdet för a. Vi ser att det är två enheter upp till grafen och därför är värdet a=2. Då vet vi nu att grafen har funktionsuttrycket: f(x)=2x-3 (Efter att ha spelat en del med getSmart lila, kommer uppgifter som detta gå av bara farten)! På vissa kort kommer det finnas grafer som ligger vågrätt. Detta betyder då med andra ord att riktningskoefficienten, a, är lika med noll. Vi kommer i håg att den generella funktionsuttrycket till en rät linje är f(x)=ax + b (y= ax + b). Om nu a = 0 så blir funktionen:

f(x) = 0 * x + b

Alltså är f(x) = b. Till exempel betyder detta att en vågrät graf som skär y-axeln i punkten (0,-2), kommer att ha funktionsuttrycket: f(x)=-2, eller om man vill y = -2.


ForrigeInnholdsfortegnelseNeste

Nyheter:

Ny hemsida och fördubblat sortiment!

Fem nya kortlekar har nu utvecklats.

Stöds av:

Logo NITO

Logo Tekna

Logo Teknisk Museum

Sveriges Ingenjörer

Logo HiBU

Logo Abelprisen