00:59
Norsk English

Räkning med potenser

Genom att spela kort med getSmart grå får man träning i potensräkning, det innebär både räkning med negativa exponenter så väl som bråkpotenser/ n:te rötter. Vi börjar med att se på de enklaste potensreglerna:

a^n * a^m  och  a^n/a^m

Detta är alltså regler för multiplikation och division av potenser med samma grundtal. Innan vi går vidare ska vi se på ett exempel av en potens.

2<sup>3</sup>

Talet 2 kallas gundtal mens talet 3 är exponenten. Hela utrycket är en potens.

Multiplikation av potenser med samma grundtal

Vi börjar med samma regel:

a^n * a^m

Här har bägge faktorerna samma grundtal, men olika exponenter. Följande regel gäller:

a^n * a^m = a^(n + m)

Vid multiplikation av potenser med samma grundtal, får svaret samma grundtal, medans exponenten blir samma som summan av potensens exponenter.

Ett exempel på en uppgift av denna typen är: Räkna ut

2^3 * 2^5

Här ser vi att grundtalet är 2 i båda potenserna, därför blir uträkningen som följande:

2^3 * 2^5 = 2^(2 +35) =  2^5 = 32

Division av potenser med samma grundtal

För division av potenser med samma grundtal, gäller föjlande regel:

a^n/a^m =  a^(n - m)

Här har bägge faktorerna samma grundtal, men olika exponenter. Vid division av två potenser med samma grundtal får svaret samma grundtal, mens exponenten blir samma som differensen mellan potensens exponenter ( den första exponenten minus den andra). Exempel: Räkna ut:

10^3/10^1).

Här ser antagligen de flesta svaret, men om vi använder reglen ovan får vi:

10^3/10^1 = 10^(3 -1)  = 10^2 = 100

Till sist tar vi för oss denna uppgiften:

x^4y3/x3y

Genom att använda den ovan nämnda regeln blir uträkningen:

x^4y3/x3y = x^(4-3)y^(3-1) = xy^2

Man behöver inte visa uträkningen

Negativa exponenter

Regeln under gäller för räkning med negativa exponenter.

a^-n = 1/a^n

Alltså är en potens med negativ exponent det samma som talet 1 dividerat med "den samma potensen", förutom att exponenten nu har motsatt förtecken.
Till exempel ser vi:

10^-2  = 1/10^2 = 1/100 = 0,01

Reglen gäller också den andra vägen, dsv. att

1/3^-3 = 3^3 = 27

Om man får ett svar där man har en potens med negativ exponent i nämnaren, kan man helt enkelt flytta potensen upp i täljaren genom att byta förtäcken på exponenten. Det vill visa sig vara väldigt användbart när vi spelar getSmart grå och hjälper spelaren att lösa uppgifterna i huvudet.

PS. Man kan fritt flytta täljare och nämnare om man kommer ihåg att ändra förtäcken till exponenten.

Tallet 0 som exponent

Här kommer vi med följande definition:

a^0 = 1

Med detta menas att alla tal som är upphöjdt i noll, har svaret 1. Varför är det så kan man fråga sig, men om vi tänker på de regler vi har gått igenom så ser vi snart att det måste vara sant. Vi tänker oss uppgiften:

5^2/5^2

Räknar vi täljare och nämnare dividerat med varandra får vi talet 1.

5^2/5^2 = 25/25 = 1

Nu ska vi använda potensreglerna för division med potenser med samma grundtal. När vi löser denna uppgiften tillsammans får vi följande:

5^2/5^2 = 5^(2-2) = 5^0 = 1

Här är vi tvungna att använda reglen a0 = 1 annars får vi ett felaktigt svar.

Potens av potens

Följande regel gäller:

(a^m)^n =a^(m * n)

Här kommer ett exempel på användingen av denna reglen:

(2^3)^2  = 2^(3 * 2) = 2^6 = 64

Bråkexponenter och n:te rötter

Definition:

a^1/n =  nterot av a

Då gäller

a^m/n = (n-te rot av a)^m  och  a^m/n = n-te rot av a^m

Låt oss se på några exempel:

Roten av x = x^1/2

8^1/3 = tredjeroten av 8 = 2

Fjerderoten av 4<sup>2</sup> = 4^2/4 =4^1/2 = roten av  4 = 2

Tredjeroten av 8^6 = 8^6/3 = 8^2 =64

Annars gäller följande regler för räkning med n:te rötter:

(n-te rot av a)^n = a

(n-te rot av a) * (n-te rot av b) = n-te rote av (a * b)

((n-te rot av a) /(n-te rot av b = n-te rot av a/b

Vi tar ett exempel på den sista av de tre reglerna ovan.

Tredjerot av 2^5/tredjerot av 2^2 =  tredjerot av (2^5)/2^2) = tredjerot av 2^3 = tredjerot av 8 = 2.

För en mer utfyllande och grundig genomgång av temat räkning med potenser, konjugatregeln och kvadreringsregeln, hänvisar vi till läroböcker som täcker dessa ämnena.


ForrigeInnholdsfortegnelseNeste

Nyheter:

Ny hemsida och fördubblat sortiment!

Fem nya kortlekar har nu utvecklats.

Stöds av:

Logo NITO

Logo Tekna

Logo Teknisk Museum

Sveriges Ingenjörer

Logo HiBU

Logo Abelprisen