00:50
Norsk English

Kvadratsetningene

1:a kvadreringsregeln:

(a + b)<sup>2</sup> = (a + b)(a + b) = a<sup>2</sup> + ab + ab + b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>

2:a kvadreringsregeln:

(a - b)<sup>2</sup> = (a - b)(a -  b) = a<sup>2</sup> - ab - ab + b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>

Konjungatregeln:

(a - b)(a + b) = a<sup>2</sup> + ab - ab - b<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>

PS. Konjungatregeln omtalas ofta som "3:e kvadreringsregeln"

Kvadreringsreglerna bör studeras noga och igenkännas båda vägar. Låt oss se på utrycket: x2 + 2x + 1. Du ska se att detta är 1:a kvadreringsregeln och veta att du därför kan skriva utrycket som
(x + 1)2. Vi kommer nu vidare att gå in mer noggrant på de olika kvadreringsreglerna.

1:a kvadreringsregeln

(a + b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> + 2ab + b<sup>2</sup>

Vi har hoppat över mellanledet, i och med att poengen med att kunna kvadreringsreglerna är att kunna svara direkt. Första kvadreringsregeln karaktiseras alltså att summan av två led ( i detta fallet a och b) "höjs upp i 2". I dessa tilfällen kommer alltid svaret att bli: ( de första leden)2 + den dubbla produktet av de två leden + (det sista ledet)2. Låt oss se på användingen av första kvadreringsregeln. Vi ska lösa följande uppgift: Räkna ut:

(2x + 3)<sup>2</sup> -(x + 1)>

Vi ser att (2x + 3)2 är första kvadreringsregeln och uträkingen blir som följer:

(2x + 3)<sup>2</sup> -( x+ 1) = 4x<sup>2</sup> + 12x + 9 - x - 1 = 4x<sup>2</sup> + 11x + 8

4x2 är det första ledet upphöjdt i två. 12x är det dubbla produktet av leden 2x och 3. Talet 9, är det sista i ledet upphöjt i två.

2:a kvadreringsregeln

(a - b)<sup>2</sup> = a<sup>2</sup> - 2ab + b<sup>2</sup>

Andra kvadreringsregeln karaktäriseras av att differansen mellan två led är "upphöjdt i två". I dessa tilfällen kommer svaret alltid att bli: (det första ledet)2 - det dubbla av produktet till de två leden + ( det sista ledet)2.

OBS! När vi pratar om led, refererar vi til "a" som första led och "b" som andra led. Tecknet "-" är inte en del av andra ledet. Låt oss se på användningen av 2:a kvadreringsregeln. Vi ska lösa följande uppgift: Räkna ut:

(2x - 3)<sup>2</sup> -(x + 1)

Vi ser att (2x - 3)2 är första kvadreringsregeln och uträkningen blir därför följande:

(2x - 3)<sup>2</sup> -(x + 1) = 4x<sup>2</sup> - 12x + 9 - x -1 = 4x<sup>2</sup> -13x +8

4x2 är det första ledet upphöjdt i två. 12x är det dubbla produktet av leden 2x och 3. Talet 9, är det sista ledet upphöjdt i två. Här får vi då -12x, eftersom man ska dra ifrån det dubbla produktet till leden 2x och 3.

Konjungatregeln:

(a - b)(a + b) = a<sup>2</sup> - b<sup>2</sup>

Exempel på denna uppgift är:

(2x + y)(2x - y)

Använder vi formelen ovan får vi:

(2x + y)(2x - y) = 4x<sup>2</sup> - y<sup>2</sup>

Man får alltså första ledet upphöjdt i andra, minus det sista ledet upphöjdt i andra. Så länge man multipliserar två parantes utryck av typen ovan, kan man alltid använda konjungatregeln och därmed ge svaret direkt utan mellanräkning. Vi tar för oss ännu en uppgift av denna typen:

(1 - 3x)(1 + 3x)

Som vi ser är detta också konjungatregeln, men här har de två paranteserna bytt plats med varandra. Vi vet att faktorens ordning inte spelar någon roll vid multiplikation och vi kan därför skriva uppgiften på detta sätt:

(1 + 3x)(1 - 3x)

Som har lösningen:

(1 + 3x)(1 - 3x) = 1<sup>2</sup> - 9x<sup>2</sup> = 1 - 9x<sup>2</sup>


ForrigeInnholdsfortegnelseNeste

Nyheter:

Ny hemsida och fördubblat sortiment!

Fem nya kortlekar har nu utvecklats.

Stöds av:

Logo NITO

Logo Tekna

Logo Teknisk Museum

Sveriges Ingenjörer

Logo HiBU

Logo Abelprisen